mathematische Loesungen
Lösungen von "Mathematisches"
Aufgabe 1:
Ein Bauer hinterlässt seinen 3 Söhnen 17 Pferde und bestimmt in seinem Testament, dass der älteste Sohn die Hälfte, der zweite Sohn ein Drittel und der jüngste Sohn ein Neuntel erben soll.
Es darf natürlich kein Pferd durchgeschnitten werden.
Wie können die Söhne den letzten Willen ihres Vaters zur Ausführung bringen?
Lösung
Man stellt ein "imaginäres" Pferd dazu. Dann sind es 18 Pferde.
Die Hälfte davon sind 9,
ein Drittel davon sind 6 und
ein Neutel davon sind 2.
Zusammen sind das 17 Pferde, so dass das "imaginäre" Pferd wieder verschwinden kann.
Möglich ist dies nur deshalb, weil 1/2 plus 1/3 plus 1/9 nicht 1 sondern nur 17/18 ergibt.

Aufgabe 2:
Zu einem Uhrmacher kommt ein Fremder und kauft eine Uhr zum Preis von 30,-€. Er bezahlt mit einem Hunderteuroschein. Da der Uhrmacher nicht genügend Kleingeld hat, muss er den Geldschein bei seinem Nachbarn wechseln.
Nachdem der Käufer längst fort ist, kommt der Nachbar aufgeregt zum Uhrmacher, behauptet, der Hunderteuroschein sei falsch, und verlangt Schadensersatz. Der Schein ist tatsächlich falsch, und der Uhrmacher muss seinem Nachbarn 100,-€ zahlen. Außerdem ist er die Uhr im Wert von 30,-€ los und die 70,-€, die er dem Schwindler als Wechselgeld ausgezahlt hat.
Das macht einen Gesamtverlust von 200,-€ -----> oder doch nicht?
Lösung
Nein, der Verlust beträgt nur 100,- €, denn die 70,- €, die der Uhrmacher dem Schwindler gab, hatte er ja von den 100,- € Kleingeld bezahlt, die ihm der Nachbar für den Schein gegeben hatte, und noch 30,- € übrig behalten. Diese 30,- € kann er jetzt seinem Nachbarn wiedergeben und muss nur noch 70,- € zulegen. Diese 70,- € sind also sein Verlust und die Uhr im Wert von 30,- €.

Aufgabe 3:
Drei Jugendliche kaufen in einem Sportgeschäft einen Ball, der 28,- € kosten soll. Der Verkäufer verlangt aber 30,- €, um gleichen Preis (10,- €)  für jeden der drei nennen zu können und steckt die 2 Euro in die eigene Tasche.
Nachdem die Drei das Geschäft verlassen habe stellt der Verkäufer fest, dass der Ball nur 25,- € kostet. Er läuft den Dreien nach und gibt jedem einen Euro zurück. Somit hat letztlich jeder der Jugendlichen statt 10,- € nur 9,- € bezahlt. Das ergibt einen Gesamtpreis von 27,- €. Wenn man nun noch die 2 ,- €, die der Verkäufer selbst eingesteckt hat, dazu rechnet, dann kommt man auf 29,- €.
Wo steckt nun der eine Euro, um wieder auf die 30,- € Ausgangsbasis zu kommen?
Lösung
Wenn jeder der drei Jugendlichen letztlich statt 10,- € nur 9,- € gezahlt hat, dann wurden statt 30,- € nur 27,- € gezahlt. Anschließend muss man von diesen 27,- € die 2 ,- € des Verkäufers abziehen (nicht dazuzählen!!), um auf die 25,- € zu kommen, die der Ball tatsächlich gekostet hat.

Aufgabe 4:
Ein mathematischer Grundsatz, der bei Gleichungen immer wieder angewendet wird, lautet: "Gleiches zu Gleichem addiert gibt Gleiches." Dafür ein Beispiel:

1 Katze ----> 4 Beine     (eine Katze hat vier Beine)
0 Katze ----> 3 Beine     (keine Katze hat drei Beine)
Addiert man nun die beiden obigen Gleichungen, so folgt daraus der merkwürdige Satz:
1 Katze ----> 7 Beine     (1 Katze hat 7 Beine)
Wo steckt der Fehler?
Lösung
Der Fehler steckt darin, dass die Sätze "eine Katze hat vier Beine" und "keine Katze hat drei Beine" doch keine Gleichungen sind. Das Wort "hat" bedeutet doch nicht dasselbe wie "ist gleich". Deswegen ist es sinnlos, die beiden Sätze zu addieren.

Aufgabe 5:
Nach den Bruchregeln werden Brüche miteinander multipliziert, indem man Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert. Es ist also:
½ € * ½ € = ¼ € = 25 Cent
Nun kann ich statt ½ € auch 50 Cent schreiben und erhalte dann:
50 Cent * 50 Cent = 2500 Cent = 25,- €
Je nachdem, wie ich scheibe, erhalte ich also 25 Cent oder 25,- €.
Wo steckt der Fehler?
Lösung
Der Fehler liegt darin, dass es unsinnig ist, €uro mit €uro oder Cent mit Cent zu multiplizieren, denn dann erhält man €uro² bzw. Cent², was es natürlich nicht gibt.

Aufgabe 6:
Die Unbekannte nennt man in Gleichungen meist X.
Ich bezeichne nun das Anderthalbfache von X mit Y. Es gilt also:
Y = 1½ X = 3/2 X
oder, wenn ich beiderseits mit 4 multipliziere:
4Y = 6 X
Dafür kann ich auch schreiben:
14 Y - 10 Y = 21 X - 15 X
oder, wenn ich auf beiden Seiten 15 X addiere:
15 X + 14 Y - 10 Y = 21 X
Nun subtrahiere ich auf beiden Seiten 14 Y:
15 X - 10 Y = 21 X - 14 Y
und klammere links 5 und rechts 7 aus:
5 * (3 X - 2 Y) = 7 * (3 X - 2 Y)
Dividiere ich nun beide Seiten durch die Klammer, so folgt:
5 = 7
Wo steckt der Fehler?
Lösung
Der Fehler steckt in der letzten Zeile. Da der Klammerwert (3 X - 2 Y) nach Vorgabe Null ist, muss die letzte Zeile heißen:
5 * 0 = 7 * 0
Und durch Null darf nicht dividiert werden.

Aufgabe 7:
Um 12:00 Uhr stehen die Zeiger der Uhr exakt übereinander.
Wann genau stehen die Zeiger wieder exakt übereinander? (Bitte auf hundertstel Sekunde genau angeben!)
Lösung
In 12 Stunden macht der kleine Zeiger 1 Umdrehung, der große Zeiger 12, also 11 mehr als der kleine. Das heißt, der große Zeiger überholt in 12 Stunden 11 mal den kleinen Zeiger. Für die Zeigerpositionen heißt das: die Zeiger haben in 12 Stunden 11 mal dieselbe Position.
Dieser Fall tritt also alle 12/11 Stunden auf, das sind
12 / 11 [h] * 60 [Min/h] = 65,45454545 Minuten bzw. 1 Stunde, 5 Minuten, 27,27 Sekunden

Aufgabe 8:
Zwei Züge starten gleichzeitig in 100 km Entfernung und fahren in gerader Linie aufeinander zu, wobei beide die gleiche Geschwindigkeit von 50 km/h haben.
Zum gleichen Zeitpunkt startet neben dem einen Zug eine Taube, die mit 60 km/h dem anderen Zug entgegen fliegt.
Nach Erreichen dieses Zuge kehrt sie um und fliegt zum ersten Zug zurück. Dort dreht sie wieder um, und das gleiche Spiel geht so weiter, bis die beiden Züge aufeinander treffen.
Wieviel km ist die Taube geflogen, wenn man Zeitverluste für die Richtungsumkehr nicht berücksichtigen muss?
Lösung
Beide Züge fahren bis sie auf halben Weg zusammentreffen jeweils 50 km und sind damit genau eine Stunde unterwegs.
Die Taube fliegt in dieser Zeit genau 60 km.

Aufgabe 9:
Ein Mann kommt jeden Tag von der Arbeit mit dem Zug um 17:00 Uhr im Heimatbahnhof an, wo er von seiner Frau mit dem Auto abgeholt wird.
Eines Tages kommt er 65 Minuten früher an und geht mit 4 km/h zu Fuß seiner Frau, die ihn ja erst um 17:00 Uhr am Bahnhof abholen will, entgegen.
Auf genau halber Entfernung von zu Hause treffen sich die beiden, und fahren von dort aus gemeinsam zurück nach Hause.
Dort stellt man fest, dass man 10 Minuten früher angekommen ist als sonst.
In welcher Entfernung vom Bahnhof wohnen die beiden?
Wie lange dauerte es von ihrem Treffen an gerechnet, bis die beiden zu Hause waren.
Mit welcher Geschwindigkeit fuhr dabei das Auto?
Lösung
Die Frau spart die Strecke vom Treffpunkt bis zum Bahnhof und zurück ein und gewinnt damit 10 Minuten, also 5 Minuten für eine Strecke.
Sie trifft somit ihren Mann um 16:55 Uhr.
Ihr Mann war damit genau 1 Stunde (Start 65 Minuten vor 17:00 Uhr und Treffen 16:55 Uhr) zu Fuß unterwegs und legte damit eine Strecke von 4 km zurück.
Da sie sich auf halber Strecke trafen, beträgt die Entfernung der Wohnung vom Bahnhof genau 8 km.
Da die Frau für die halbe Strecke (Treffpunkt bis Bahnhof) 5 Minuten brauchte, benötigt sie auch 5 Minuten, um vom Treffpunkt nach Hause zu fahren.
Die Frau fuhr die 4 km vom Treffpunkt bis zum Bahnhof in 5 Minuten. Damit fuhr das Auto mit einer Geschwindigkeit von 48 km/h (4 km* 60 Min/h / 5 Min)

Aufgabe 10:
Ein Gemüsehändler hat einen Marktstand. Hier verkauft er unter anderem frische Pilze. Frische Pilze haben einen Wassergehalt von 95%.
Ein Kunde kauft früh am Morgen 200g frische Pilze, die er abends essen möchte. Als er die Pilze jedoch am Abend zubereiten möchte, muss er feststellen, dass der Wassergehalt der Pilze auf 90% gefallen ist. Wie viele Gramm wiegen die Pilze am Abend noch?
Lösung
Die 200g Pilze enthalten 10g (= 5%) Trockenmasse, der Rest besteht aus Wasser. Am Abend enthalten die Pilze nur noch 90% Wasser, das heißt, dass die 10g Trockenmasse jetzt 10% des Pilzgewichtes entsprechen. Folglich wiegen die Pilze nur noch 100g.

Aufgabe 11:

Zwei Freunde treffen sich. Sie haben sich lange nicht mehr gesehen. Umso größer ist die Freude.

Interessiert erkundigen sie sich nach den gegenseitigen Befinden, nach der Familie.

"Was machen eigentlich deine drei Kinder?", will der eine wissen, "Wie alt sind sie inzwischen überhaupt?"

"Pass auf" schmunzelt daraufhin der andere, "ich mache daraus eine kleine Rechenaufgabe! (ganze Jahreszahlen vorausgesetzt, also nicht z.B. 5 Jahre und 3 Monate!)

Das Produkt der drei Alter, volle Jahre, versteht sich, ist 36, und die Summe, die ergibt gerade unsere Hausnummer. Die kennst du ja wohl noch!?"

"Natürlich, die kenne ich noch" bestätigt der Erste und beginnt sofort zu rechnen.

Doch schon nach wenigen Augenblicken stockt er, runzelt die Stirn und behauptet: "So kann ich das aber nicht lösen! Da fehlt mir noch eine Angabe!"

"Stimmt!", gibt der Zweite zu, "Ich vergaß dir zu sagen, dass der Älteste seit gestern mit einer Erkältung im Bett liegt!"

Wie alt sind die drei Kinder und welche Hausnummer hat deren Vater?

Lösung

Es gibt nur 8 Möglichkeiten, um als Produkt aus drei Zahlen den Wert "36" zu erhalten. Diese sind in vorliegender Tabelle dargestellt.

Die Summe der Altersangaben, die mit der Hausnummer übereinstimmen soll, unterscheiden sich alle untereinander außer Nr.5 und Nr.6.

Da mit vorgenannten Angaben der Freund die Aufgabe nicht lösen kann, muss es sich also um die Hausnummer "13" handeln.

Die darauf folgende Aussage, dass der Älteste seit gestern mit Erkältung im Bett liegt, legt Nr. 5 (9 - 2 - 2) als Ergebnis fest.

Begründung: Bei Nr.6 (6 - 6 - 1) als Lösung hätte der Vater sagen müssen: "Einer der beiden Ältesten liegt mit Erkältung im Bett".

Aufgabe 12:

Ein Vater bringt seinen vier Söhnen Süßigkeiten (Bonbons) mit.

Der älteste Sohn nimmt davon die Hälfte der Bonbons und ein halbes,

der zweitälteste nimmt vom Rest der Bonbons die Hälfte und ein halbes Bonbon,

der nächste wiederum vom Rest die Hälfte und ein halbes,

und der jüngste Sohn erhält nur 2 Bonbons.

Wie viele Bonbons waren es ursprünglich?

Zu beachten ist ferner, dass kein Bonbon geteilt wurde!

Lösung

Am besten, man "rollt" die Anzahl der Bonbons von hinten auf:

Dann hat der 3. Sohn ( 2 + 1/2 ) * 2 = 5 Bonbons,

der 2. Sohn ( 5 + 1/2 ) * 2 = 11 Bonbons

und der 1. Sohn ( 11 + 1/2 ) * 2 = 23 Bonbons zur Auswahl.

Demzufolge bekommen die Söhne 12, 6, 3 und 2 Bonbons.


Aufgabe 13:

Bei einer Vorlesung im Jahre 1925 erzählte ein Archäologieprofessor, er habe während des Ersten Weltkrieges, als er selbst noch Student war, irgendwo in Europa ein sehr altes Kriegergrab entdeckt. Sofort habe er sich an die Ausgrabungen gemacht und dabei folgende drei Daten festgestellt:

a) das Alter des Grabes (in Jahren)

b) das Alter des Kriegers, als dieser in der Schlacht fiel (in Jahren)

c) die Länge der Lanze, die er im Grag fand (gemessen in Meter [m])

Außerdem merkte es sich:

d) den Tag des Fundes (z.B. 15 für den 15. Tag des Monats)

e) den Monat des Fundes (z.B. 9 für September)

Da er damals nur einen winzigen Papierschnipsel bei sich hatte, der zu klein war um alle fünf Zahlen zu notieren, multiplizierte er alle Zahlen miteinander und notierte nur das Ergebnis: 2 162 994.

Er wusste, dass er daraus später alles andere genau wieder rekonstruieren konnte.

Frage 1: Wann genau entdeckte der Archäologieprofessor das Grab (Wochentag, Datum (Tag, Monat, Jahr)?

Frage 2: In welcher Schlacht war der Soldat gefallen?

Frage 3: Dies Frage wird aus inhaltlichen Gründen im Register "Spitzfindigkeiten (Aufgabenstellung)" bei Aufgabe 11 behandelt.

Lösung

Da der Archäologe 5 Zahlen miteinander multipliziert hat, von denen er genau wusste, er könne sie anhand des Produktes später eindeutig reproduzieren, kann das Produkt nur auf eine einzige Art in 5 Faktoren zerlegt werden.Die Zahl  2 162 994 ist somit das Produkt von 5 Primzahlen.

Da das Produkt eine gerade Zahl ist lässt es sich durch 2 teilen. Man erhält 1 081 497.

Wegen der Quersumme 30 ist das Ergebnis wiederum durch 3 teilbar und ergibt 360 499.

Durch Überlegung und ein wenig Probieren erhält man folgende Primzahlen:

29 (360 499 : 29 = 12 431 und 31 (12 431 : 31 = 401 (401 ist die letzte Primzahl)

Natürlich käme auch noch die 1 als Faktor in Frage, aber dann wäre die Aufgabe nicht mehr eindeutig.

Die für die Lösung erforderlichen 5 Zahlen sind demnach 2, 3, 29, 31 und 401.

Diese Zahlen müssen nun den 5 Angaben des Archäologen zugeordnet werden.

Als Länge der Lanze kommt 2 m oder besser noch  3 m in Frage. 29 m und größer sind als Lanzenlänge unsinnig.

Als Monat kommt ebenfalls 2 oder 3 in Frage. 29 und 31 kann der x. Tag des Monats oder das Alter des Soldaten sein.

Für das Alter des Grabes bleibt dann nur noch 401 Jahre übrig.

Aus Gründen der Eindeutigkeit muss 2 für Monat (Februar) stehen in Verbindung mit 29 als x. Tag des Monats, da der Februar (2) maximal 29 Tage in einem Schaltjahr hat.

29 oder auch 31 Tage bei 3 als Monat (März) wäre auch möglich, aber dies wäre dann kein Schaltjahr, was für die Bestimmung des genauen Jahres der Ausgrabung während des Ersten Weltkrieges erforderlich ist (siehe weiter unten).

Damit ist

a) das Alter des Grabes: 401 Jahre (im Jahre der Entdeckung währen des Ersten Weltkrieges)

b) das Alter des Kriegers, als dieser in der Schlacht fiel: 31 Jahre

c) die Länge der Lanze: 3 m

d) der Tag des Fundes: 29.

e) der Monat des Fundes: 2 (Februar).

Der 29.02. ist ein Schaltjahr! (Ein Schaltjahr muss durch 4 ohne Rest teilbar sein.)

Während des Ersten Weltkrieges (1914 - 1918) gab es nur ein Schaltjahr, und das war 1916. (Die Jahre 1914, 1915, 1917 und 1918 sind nicht ohne Rest durch 4 teilbar)

Die Lösung der Frage 1:

Das Grab wurde also am 29.02.1916 von dem Archeologieprofessor entdeckt und dies war ein Dienstag, wie man aus div. Kalenderprogrammen ermitteln kann. (z.B. http://kalender-365.de/index.php?yy=1916)

Der Krieger ist also im Jahr 1916 - 401 = 1515 gefallen.

Die Lösung der Frage 2:

Um die gesuchte Schlacht herauszufinden googeln Sie unter "Schlacht im Jahre 1515" und Sie finden "Schlacht bei Marignano – Wikipedia".

Unter diesem Link erfahren Sie näheres über die Schlacht nach der in dieser Aufgabe gefragt war.

Die Lösungen von Frage 3 finden Sie im Register  "Spitzfindigkeiten Lösung)" bei Aufgabe 11.

Aufgabe 14:


Wie viel Wasser verdrängt nachfolgend dargestellte Kugel mit dem Radius R, durch deren Zentrum ein H = 12,4 cm langes Loch mit einem Bohrungsradius r gebohrt wurde, bzw. wie groß ist das Restvolumen Vr der Kugel?


Gemäß nebenstehender Skizze gilt:

    Kugelradius = R

    Radius der Bohrung = r

    Länge der Bohrung = H = 12,4 cm

    Höhe jeder durch das Bohren verloren gegangenen Kugelkalotte = h

   


Auf den ersten Blick scheint diese Aufgabe unlösbar zu sein, denn es ist weder gesagt, wie groß die Kugel ist (R = ?) noch welchen Durchmesser (2*r = ?) die Bohrung hat.

Ebensowenig ist die Höhe (h = ?) der Kugelkalotte bekannt.

Dennoch gibt es ein eindeutiges Ergebnis.

Lösung:

Die folgenden Beziehungen gehen aus obiger Zeichnung hervor:

                                     h = R - H/2                     (1)

                                     r² = R² - (H/2)²               (2) (Satz des Pythagoras)

Um das Restvolumen der Kugel zu berechnen, muss manvom Volumen der ganzen Kugel das Volumen des Bohrloches und das Volumen der beiden Kugelkalotten abziehen.

Diese drei Volumina errechnen sich wie folgt:

  1. Kugelvolumen        Vk = 4/3 * π * R³             (3)

  2. Bohrlochvolumen   Vb = H * π * r²                (4)

  3. Kalottenvolumen    Vt = π/3 * h² * (3R - h)    (5)


Vb = H * π * [R² - (H/2)²]                                      (6) (Gleichung (2) in Gleichnung (4) eingesetzt)

Vt = π/3 * (R - H/2)² * [3R - (R - H/2)]                  (7) (Gleichung (1) in Gleichnung (5) eingesetzt)


Das Volumen der aufgebohrten Kugel ist dann: (8)

Vr = Vk - Vb - 2 * Vt

Vr = 4/3 * π * R³ - H * π * [R² - (H/2)²] - 2 * π/3 * (R - H/2)² * [3R - (R - H/2)]  (Gleichungen (3), (6) und (7) in Gleichung (8) eingesetzt)

Ausmultipliziert ergibt sich:

Vr = 4/3 * π * R³ - H * π * R² + π/4 * H³ - 4/3 * π * R³ - π/3 * H * R² + 4 * π/4 * H * R² + π/3 * H² * R - π/3 * H² * R - π/12 * H³

Darin heben sich die meisten Glieden gegenseitig auf (siehe Farbmarkierung).

Es bleiben die unterstrichenen Faktoren übrig:

Vr = π/6 * H³ = π/6 * 12,4³ = 998,305992 cm³ (also fast 1000 cm³ bzw. 1 Liter)


Geht man davon aus, dass H = 2 * R bzw. R = H / 2 ist, dann wird r = 0 und wir haben eine Kugel mit dem Radius R = 6,2 cm bzw. mit dem Durchmesser H = 12,4 cm.

Setzt man das in die Gleichung (3) für das Kugelvolumen ein, dann erhält man:

Vk = 4/3 * π * 6,2³ = 998,305992 cm³ (also den gleichen Wert: fast 1000 cm³ bzw. 1 Liter)


Aufgabe 15:

Für den Kandidaten eines Glückspiels stehen drei Päckchen zur Auswahl. Eins enthält einen Preis (Gewinn), die beiden anderen sind Nieten.

Die Chance für den Kandidaten, das Päckchen mit dem Preis zu bekommen, beträgt somit 1:3.

Wenn er sich für ein Päckchen entschieden hat, aber noch nicht nachgesehen hat, ob man gewonnen hat, dann gibt es für ihn zwei Möglichkeiten:

Er hat das Päckchen mit dem Gewinn gewählt und die beiden anderen Päckchen sind die Nieten oder er hat eine Niete gewählt. Dann ist eines der beiden anderen Päckchen ebenfalls eine Niete.

Bevor der Kandidat jetzt überprüfen kann, ob er den Preis gewonnen hat, macht ihm der Spielleiter in jedem Fall folgendes Angebot:

    Er zeigt ihm den Inhalt des Päckchens von den beiden nicht gewählten, das die Niete enthält.

    Er bietet dem Kandidaten anschließend an, wenn er will, noch einmal zwischen den beiden restlichen Päckchen (also seinem bereits gewähltes oder dem anderen noch verschlossenen Päckchen) zu entscheiden.

Damit stellt sich für den Kandidaten die Frage, ob er damit seine Chance verändert, und wenn ja, wie:

    Bleibt seine Chance bei 1:3 ?

    Erhöht sich seine Chance in jedem Fall auf 1:1, egal, ob er wechselt oder nicht?

    Wird sein Chance größer (oder kleiner), wenn er wechselt und, wenn ja, wie groß ist dann gegebenenfalls seine Chance?

Lösung

Da die Chance des Kandidaten für die Erlangung des Preises 1:3 beträgt, liegt seine Chance, eine Niete zu ziehen bei 2:3.

Ein somit anschließender Wechsel zu den beiden anderen Päckchen erhöht seine Chance damit zwar ebenfalls auf 2:3. Da er aber normalerweise anschließend auch noch zwischen diesen beiden Päckchen entscheiden müsste, was einer zusätzlichen Auswahlchance von 1:2 entspräche, wäre seine Gesamtchance 2:3 mal 1:2 also auch nur 1:3.

In dieser Aufgabe entbindet jedoch der Spielleiter den Kandidaten, zwischen den beiden Päckchen entscheiden zu müssen, indem er ihm das Päckchen mit der Niete zeigt.

Damit entfällt die Reduzierung der 2:3 - Chance auf 1:3.

Für den Kandidaten steigt also seine Chance  von 1:3 auf 2:3, wenn er wechselt, wie ihm der Spielleiter angeboten hat.

Aufgabe 16:


Drei Personen (grüne Punke A, B und C) stehen jeweils im Abstand von 60 Schritten von einander entfernt und bilden damit ein gleichseitiges Dreieck.

Dann laufen, zu gleicher Zeit beginnend, alle drei Personen los und zwar jeder in Richtung der links von ihr (somit im Uhrzeigersinn) sich befindlichen Person. (Also läuft A auf C zu während gleichzeitig C auf B und B auf A zuläuft.

Da alle drei mit einer Geschwindigkeit von 4 Schritten pro Sekunde laufen, treffen alle zu gleicher Zeit in der Mitte des Dreiecks (roter Punkt) zusammen.

Auf Grund dessen, dass sich jede Person bewegt, läuft auch jede Person auf einer gekrümmten (blauen) Linie zum Mittelpunkt.


Frage: Wie viel Sekunden dauert es, bis die drei Personen den roten Punkt in der Mitte des Dreiecks erreicht haben?

Lösung

Betrachtet man die Ausgangspositionen (die drei grünen Punkte) der drei Personen während des Laufens, dann stellt man fest, dass das Dreieck ACB im Uhrzeigersinn rotiert und gleichzeitig auf Null zusammen schrumpft, wobei aber seine Form (gleichseitiges Dreieck) beibehalten wird.

Wenn wir den Lauf jeder Person innerhalb dieses rotierenden, sich stets verkleinernden Bezugssystems betrachten, dann bewegen sie sich auf einer geraden (blauen) Linie auf die links von ihr sich befindliche Person (und damit aber auch gleichzeitig auf den roten Mittelpnkt) zu.

Was jetzt also für die Zeitdauer des Laufes von Wichtigkeit ist, ist die Frage, nach wieviel Sekunden das Dreieck auf Null zusammengefallen ist.

Während Person B sich mit 4 Schritten pro Sekunde auf Person A zubewegt, bewegt sich Person A theoretisch gleichzeitig mit 2 Schritten auf Person B zu. (4 Schritte * cos 60° = 2 Schritte)

Damit nähern sich Person A und B mit (4 + 2) 6 Schritten pro Sekunde und legen damit die Distanz zwischen den Ausgangspunkten A und B von 60 Schritten in 60 Schritten / 6 Schritte pro Sekunde gleich 10 Sekunden zurück.

Die gesamte Laufzeit beträgt also 10 Sekunden.
Aufgabe 17:
Frau Meier bekommt mit 23 Jahren ihr erstes Kind (Albert). ein Jahr später  ihr zweites Kind (Boris) und noch ein Jahr später ihr drittes Kind (Christian)
Stellt sich folgende Frage: Wie alt sind alle vier Personen heute, wenn das Alter der Mutter jetzt der Summe der Alter ihrer drei Kinder entspricht?
Lösung
Heute ist das Alter von Kind A = X, von Kind B =X - 1 und von Kind C = X - 2
Die Summe (S) der Alter von den drei Kindern beträgt dann: S = A + B + C = X + (X - 1) + (X - 2)
Das Alter der Mutter, Frau Meier, beträgt dann heute: M = 23 + X, welches der vorgenannten Summe S entspricht.
Damit ist M = S bzw.
  23 + X = X + (X - 1) + (X - 2)
nach X aufgelöst beträgt das Alter X des ältesten Sohnes A 13 Jahre, des mittleren Sohnes B 12 Jahre und das Alter des jüngsten Sohnes C 11 Jahre. Zusammen also S = 13 + 12 + 11 = 36 Jahre.
Die Mutter M ist damit heute 36 Jahre alt, was ihrem Alter (23 Jahre) bei der Geburt des ersten Sohne A  plus dem Alter (13 Jahre) des ältesten Sohnes A ; also 23 + 13 (ebenfalls 36 Jahre) entspricht.

Aufgabe 18:


Wie groß ist der Radius des gelben Kreises?

Der blaue Kreis hat einen Radius von R blau = 5 cm und der rote von R rot = 12 cm.

Lösung

Errichtet man das Lot CF auf die Seite AE, dann sieht man, dass die Dreiecke ABC und CFA sowie die Dreiecke CDE und EFC jeweils gleich sind.

Folglich ist der Flächeninhalt des Dreiecks ACE gleich dem Gesamtflächeninhaltes von ABC plus CDE.

Da die Dreiecke ABC, CDE und ACE einschließlich ihrer Inkreise ähnlich sind, müssen auch die blaue und rote Kreisfläche zusammen so groß sein wie die gelbe.

Für ihre Radien gilt dann R blau² +R rot² = R gelb².

Das lässt sich umformen zu R gelb = Wurzel aus (R blau² + R rot²) = 13 cm

Aufgabe 19:

Wie groß ist der Abstand zwischen den beiden 50 m hohen Pfosten, wenn der Seildurchhang des 80 m langen Seils gemäß der Skizze 10 m über dem Boden endet? 

Lösung

Da die Seillänge 80 m beträgt ist die Hälfte des Seils (also die Hälfte der Seilparabel) 40 m lang und endet 10 m über dem Boden, wenn es von der Spitze des 50 m hohen Pfostens senkrecht herunter hängt. (50 m - 40 m = 10 m). Der Seildurchhang endet gemäß Vorgabe ebenfalls bei 10 m über dem Boden.

Daraus resultiert, dass die beiden Pfosten direkt nebeneinander stehen, also einen Abstand von 0 m haben müssen.

Share by: